Двоичная система исчисления

Здравствуйте, в этой статье мы поговорим про такую важную тему, как двоичная система исчисления, называемую также бинарным кодом. Всем, кто хочет идти работать в ай-ти сферу должны обязательно разобраться в этом разделе, а для всех остальных будет полезно ознакомиться для общего развития, с представленной ниже информацией.

Я попытаюсь дать все необходимые понятия, и попытаюсь подробно разжевать их, чтобы у вас не осталось никаких вопросов. Попробую дополнить всё примерами, а самые сложные моменты попытаюсь объяснить на пальцах. После прочтения вы узнаете о представлении чисел в двоичном коде, некоторые особенности и полезные свойства этой системы счисления, отрасли, где она применяется и краткую теорию её становления в информатике.

Экскурс в прошлое

Бинарное исчисление было введено немецким математиком и ученым Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке. Он считал двоичную нумерацию простой и красивой. Вот что он сам про неё говорил: «вычисление с помощью двоек является для науки основным и порождает новые великие изобретения. При сведении чисел к таким основаниям, как 0 и 1 — появляется чудесный порядок». Однако счисление не получило большой популярности. По нему не издавали работ до 20 века. Однако, с появлением первых ЭВМ все поменялось и мы пользуемся им до сих пор.

Минимально необходимый теоретический базис

Для того чтобы полностью разобраться с двоичным исчислением нужно разобрать, или повторить основные определения. Это будет фундаментом для того, чтобы вы смогли понять то, что дальше написано. К ним относятся такие понятия как:

Цифры – знаки с помощью которых мы записываем числа (0-9);
Алфавит – набор знаков, которые мы используем для отображения числового значения. В арабском алфавите, который используется во всем мире, знаки состоят из цифр от 0 до 9.
Разряд — место (позиция) цифры, которое она занимает. Далее я наглядно покажу, что он из себя представляет.
Основание – количество символов, которое используется, чтобы представить информацию в нужной системе счисления. Например, в шестнадцатеричном исчислении используются – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, 16 символов.
Позиционные система счисления – системы, где значение цифры зависит от её разряда (места в числе). Например, в 1000 единица обозначает “тысячу” а в 10 “десяток”. Количество, которое обозначает знак “1” меняется.

Понимая все то, что написано выше, можно перейти к сути вопроса. Итак:

Двоичная система счисления – позиционная система с основанием 2. Для отображения чисел применяется два знака – 0 и 1. В математике обозначается с помощью нижнего индекса, где указано основание. Выглядит это вот так . Натуральные числа представляются по следующей формуле:

Немного про то, что значат буквы в формуле.

а – цифры (нуль или единица)
n – номер последней позиции в числе. Отсчет начинаем от 0 и считаем справа налево
k – индекс позиции

Практика

Без практики объяснить, как этим пользоваться – трудно. Поэтому рассмотрим пару примеров. Однако для начала вам необходимо скачать таблицу, где значения бинарного кода представляются в десятичной форме. Я взял первую попавшуюся таблицу с интернета. Выглядеть она будет примерно так:

Задача 1: Представить 7 в двоичном коде, а потом расписать его с помощью формулы выше.

Для того чтобы это сделать надо:

Последовательно делить семерку на 2, пока остаток от нее станет меньше либо равен единице.
Используем принцип деления «столбиком».
Записываем значение в двоичной форме по остаткам справа налево.
Ответ:
Сверяем результат с таблицей
Записываем в виде степенного ряда n (номер крайней позиции)=2 так как

Как видно из примера здесь нет ничего сложного. Давайте разберем что-нибудь посложнее, да и найдем таблицу посерьезнее. Я взял вот такую:

Задача 2: отобразить 13 в двоичной системе счисления.

Все шаги останутся точно такими же, однако я покажу другой способ для выполнения первого пункта. Принцип тот же, но он кажется мне более удобным.

Получаем что

Смотрим что в таблице:

Далее я приведу несколько свойств, которые вы сможете применить при работе с двоичной системой.

Полезные свойства

Добавляя справа нулик, вы увеличиваете числовое значение в два раза. Выглядит это как-то так:
В конце четного числа всегда стоит нуль, а в конце нечетного – единица. Если не верите, то можете посмотреть в таблице =)
Числа, которые можно представить записью — записываются k единицами в двухзначном представлении.

Области применения

Во всех компьютерах и другой цифровой технике мы применяем бинарное исчисление. Все дело в его простоте. 0 и 1 соответствует двум состояниям электрической цепи – включено и выключено. Простота реализации обеспечивает высокую скорость работы и высокую помехоустойчивость всей системы в целом.
В шифровании сообщений. Вспомните азбуку Морзе, которая популярна среди радиолюбителей. В ней используется два сигнала:
1. Длинный гудок – называется тире;
2. Короткий гудок – точка.
Для кодирования изображений. Каждый пиксель картинки, которая сохранена в одном растровых форматах (png,jpg,gif и других), хранит информацию о своем цвете, используя три байта памяти ПК – двадцать четыре нуля и единицы (двоичное исчисление).
Является основой «Дополнительного двузначного кода». Кодирование, которое используется в электронно-вычислительных машинах для представления отрицательных чисел. В результате операция вычитания заменяется операцией сложения, что значительно упрощает архитектуру конструирования ЭВМ.
Лежит в основе работы таких устройств, как компараторы, которые применяются для преобразования аналогового сигнала в цифровой (широко используется в теле-радиовещании).

Заключение

На этом всё, вот вы и познакомились с двоичной системой исчисления. Здесь мы рассмотрели общие положения и научились пользоваться таблицей для проверки результатов. Также вы знаете отрасли применения. Прочитав другие материалы нашего сайта, вы сможете научиться выполнять арифметические операции, и переводить счисление с основанием два в другие нумерации. Например шестнадцатеричную и восьмеричную (основание шестнадцать и восемь). При возникновении вопросов оставляйте их в комментариях.