Что такое множество 👨‍🎓. Свойства и операции над множествами

В этой статье рассмотрим очень важную тему, как в математике, так и в информатике – множества. Ниже Вы найдете основные определения и понятия, свойства множеств, их виды и примеры. Материал изложен таким образом, что разберется даже полный чайник. Здесь кратко приведены, только основы, которые обычно проходятся в рамках школьной программы. Читайте!

Основные положения и обозначения

Теория множеств появилась благодаря знаменитому немецкому математику Георгу Кантору. Именно он с 1872 по 1884 год опубликовал работы, в которых были изложены основные положения и свойства, касающиеся данной темы.

Итак, начнем с основных понятий. Основное определение имеет следующий вид:

Обозначаются они с помощью заглавных латинских букв, а их элементы указываются в фигурных скобках.

Примеры

​\( S = \left\{ а, б, в, г, д, …, ю, я \right\} \) – мн-во букв русского алфавита.
\( S = \left\{ Алексей, Анатолий, Галина, …, Александр, Ирина \right\} \) – мн-во имен студентов в группе.
\( S = \left\{ 🐵, 🙈, 🙉, 🙊 \right\} \) – мн-во смайликов с изображением обезьянок.

Также стоит обговорить про принадлежность элементов к множеству. Записать её можно с помощью специального значка «принадлежности» – ​\( \in \)​. Так запись вида \( x \in S \) обозначает, что элемент x принадлежит множеству S.

С основным понятием разобрались, перейдем к остальной теории.

Подмножества

Обозначают подмножества при помощи специального значка «включения», который имеет вид ​\( \subset \) \( (\ S_1 \subset S \ ) \)​. Также их можно отобразить схематично, используя диаграммы Эйлера, которые отображают отношения между подмножествами.

Вернемся к нашему примеру с мн-ом имен студентов в группе, тогда S1 = {Галина, Ирина, … } – множество женских имен девушек, которые учатся в этой группе. В результате мы можем сказать, что S1 является подмножеством S.

Также Вы можете выделить подмножество мужских имен, или сделать любую выборку по какому-нибудь признаку.

Мощность

Следует также выделить такое понятие, как мощность. Имеет оно следующий вид:

Мн-ва называются равномощными тогда и только тогда, когда количество элементов одного из них равно количеству элементов другого.

Причем неважно, какие элементы будут в этих мн-ах. Так в одном из них могут содержаться 26 букв английского алфавита, а в другом 26 марок японских автомобилей, при этом они будут равномощными.

Мощность является одним из тех свойств, благодаря которому мы можем проводить сравнение двух (или более) м-в.​​

Равенство

Необходимо сказать и про равенство. Для чайников правило будет выглядеть так:

Теперь изучим виды и другие свойства мн-в в математике.

Виды (классификация)

Существует много критериев и свойств, по которым мы можем классифицировать множества. Например, мы можем разделить их по количеству элементов:

1. Пустые – такие м-ва не содержат ни одного элемента. Обозначаются значком ​\( \varnothing \).
2. Одноэлементные – как понятно из названия, состоят из одного элемента.
3. Универсальные – состоят из ВСЕХ объектов, которые есть в мире.

А можем поделить их на конечные (ограниченные) и бесконечные:

1. В конечных мн-ах имеется ограниченное число элементов (вспомните про пример с именами студентов).
2. Бесконечные. Например, м-во целых (Z) и рациональных (Q) чисел в математике.

Теперь рассмотрим примеры множеств в математике.

Примеры числовых мн-в

Натуральные числа

Натуральные числа в математике – это те числа, которые мы используем при счете (1, 2, 3 и т.д.). Сюда не относятся отрицательные величины и нуль. Запись: \( N = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, … \right\} \).

Целые числа

Получаются из множества натуральных чисел. К ним добавляются отрицательные числа и нуль. \( Z = \left\{ 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, … \right\} \).

Рациональные числа

Здесь множество задается следующим образом: ​\( Q = \left\{ {m\over n} \ | \ m \in Z, \ n \in N\right\} \)​. В формуле m представляет собой целый числитель, а n – натуральный знаменатель.

Так как любое число в математике можно представить в виде дроби (например, ​\( 5 = {5 \over 1} \)​), то целые числа являются подмножеством рациональных чисел. Натуральные же числа являются подмножеством целых чисел.

\[ N \subset Z \subset Q \]

Эту теорию Вам надо запомнить.

Операции

В этом разделе рассмотрим основные операции (действия) над множествами в математике.

Пересечение

Операция пересечения эквивалентна логической конструкции И (логическое умножение). В результате пересечения образуется множество состоящее из элементов, которые входят и в множество S1 ​​и одновременно с этим в S2. Для обозначения используется значок \( \cap \). Ниже приведен пример, отображенный с помощью кругов Эйлера – Венна (не путать с диаграммами Эйлера).

Чтобы поняли даже чайники, вернемся к нашим «мартышкам»:

\( S = \left\{ 🐵, 🙈, 🙉, 🙊 \right\} \)

\( S_{1} = \left\{ 🙉, 🙊 \right\} \) — обезьянки показывающие лапки и глаза

\( S_{2} = \left\{ 🙈, 🙉 \right\} \) — мартышки показывающие лапы и рот

Надо найти \( S_{1} \ \cap \ S_{2} \). Для этого воспользуемся диаграммами Эйлера — Венна:

Решение: ​\( S_{1} \ \cap \ S_{2} = \left\{  🙉 \right\} \) т.к.  🙉​ входит и в S1 и в S2.​

 

Объединение

Операция объединения соответствует логическому ИЛИ (логическому сложению). В результате объединения получается множество, состоящее из всех элементов множеств S1 и S2. Для обозначения используем знак \( \cup \).

​Решение: ​\( S_{1} \ \cup \ S_{2} = \left\{ 🙈, 🙉, 🙊 \right\} \) ​

Разность

Вычитание множеств. Имеет следующее обозначение \( S_{1} \setminus S_{2} \). В результате данной операции получим все элементы, которые принадлежат множеству S1 и в то же время НЕ принадлежат S2.

Как решить: ​\( S_{1} \ \setminus \ S_{2} = \left\{ 🙊 \right\} \)

Следует отметить, что здесь приведены не все операции. Например, не написано про симметрическую разность и законы Моргана. Их проходят в рамках высшей математики.

Заключение

Теперь Вы знаете, что такое мн-ва, знаете их свойства и какими они бывают. Также имеете представление о том, какие операции над ними можно выполнять. Надеюсь я объяснил всю теорию так, что понял даже полный чайник. Если же у Вас возникли вопросы, то задавайте их в комментариях. Также на нашем сайте Вы можете прочитать другие статьи, например про представления чисел в компьютере. Рассказывается как выполнять с ними такие действия, как перемножение, получение суммы и деление.